在数字逻辑和计算机科学中，一个函数是自对偶的，如果它满足以下条件： $F(x) = \overline{F(\overline{x})}$ 其中，x 是一个位向量，$\overline{x}$ 表示 x 的逐位逻辑非，而 $\overline{F}$ 表示给定的逻辑函数F与或互换。 为了证明函数 F 是自对偶的，我们需要证明 F(x) 等于 $\overline{F(\overline{x})}$。
给定的函数 F 是： $F = C(\overline{A\overline{B}+\overline{A}B)} + \overline{C}(A\overline{B}+\overline{A}B)$
$F' = (C+(\overline{A+\overline{B})(\overline{A}+B)} ) (\overline{C}+((A+\overline{B})(\overline{A}+B))$
A, B, C 是变量，而 + 表示逻辑或（OR）操作。
首先，让我们简化 F： $F = \overline{C(A\overline{B}+\overline{A}B)} + \overline{C}(A\overline{B}+\overline{A}B)$
因为 $A\overline{B}+\overline{A}B$ = $A \oplus B$, 看作是 A 和 B 的逻辑同或（equivalence）的相反形式，因为 $A \oplus B = (A \overline{B}) + (\overline{A} B)$，其中 $\oplus$ 表示异或 （xor）。
令 $X = A \oplus B$
$X' = A \times B + \overline{A} \times \overline{B}$
$X' = A \times B + \overline{A} \times \overline{B}$ 所以我们可以重写 F 为： $F = \overline{C(A \oplus B)} + \overline{C}(\overline{A \oplus B})$ $F = \overline{C X} + \overline{C}X$
$\lnot$a 注意到 $C(\overline{X}) = \overline{C(X)}$ (德·摩根定律)对于任何 X 都成立，因为异或操作在每一位上都相当于模 2 加法，取反操作相当于模 2 加 1。因此，我们可以进一步简化 F： $F = \overline{\overline{C(A \oplus B)}} + \overline{C}(\overline{A \oplus B})$ $F = C(A \oplus B) + \overline{C}(\overline{A \oplus B})$ 现在我们需要证明 $F(x) = \overline{F(\overline{x})}$。为了做到这一点，我们将 $\overline{x}$ 代入 F： $F(\overline{x}) = C(\overline{A} \oplus \overline{B}) + \overline{C}(\overline{\overline{A} \oplus \overline{B}})$ 由于异或操作和取反操作都是自对偶的，我们有： $C(\overline{A} \oplus \overline{B}) = \overline{C(A \oplus B)} \overline{C}(\overline{\overline{A} \oplus \overline{B}}) = \overline{C}(A \oplus B)$ 因此： $F(\overline{x}) = \overline{C(A \oplus B)} + \overline{C}(A \oplus B)$ 注意到这与 F 的原始形式相同，除了变量 A 和 B 被它们的逻辑非所替代。然而，由于 F 不直接依赖于 A 和 B 的值，而是依赖于它们的异或，所以我们可以得出结论： $F(x) = F(\overline{x})$ 最后，我们需要证明 $F(x) = \overline{F(\overline{x})}$。根据上面的等式，我们有： $\overline{F(\overline{x})} = \overline{F(x)}$ 这意味着 F(x) 必须是一个常数函数，比如 0 或 1，因为只有在这种情况下 F(x) 才能等于它的逻辑非。然而，给定的 F 并不是一个常数函数，因为它是 A 和 B 的异或的函数。 所以，基于给定的 F 的定义，它不是一个自对偶函数，因为在我们的简化过程中没有考虑到这一点。如果我们考虑 F 的原始形式，并正确地应用逻辑等价和自对偶性质，我们可能会得出不同的结论。但是，基于上述推导，F 似乎不是自对偶的。为了正确证明 F 是自对偶的，我们需要一个更仔细的分析，可能涉及到逐位检查 F 和 $\overline{F(\overline{x})}$ 是否相等。